Résoudre une équation dans C (2) - Corrigé

Énoncé

Résoudre dans $\mathbb{C}$  l'équation $z^2=-5+4i.$

Conseil : poser  $z=x+iy$ et penser au changement de variable  $X=x^2$ au moment opportun.

Solution

Soit $z\in \mathbb{C},$  on pose  $z=x+iy$ avec  $x$ et  $y$ des réels.
Par unicité de la partie réelle et imaginaire d'un nombre complexe, on a :
$z^2=-5+4i⟺x^2-y^2+2ixy=-5+4i$ .
$$\begin{gathered} ⟺\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=-5\\ \\ 2xy=4\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{x}^2-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}+5=0\\ \\ y={\displaystyle \frac{2}{x}}\end{array} \\ ⟺\{\begin{array}{l}{x}^2-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}+5=0\\ \\ y={\displaystyle \frac{2}{x}}\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{x}^4+5x^2-4=0\\ \\ y={\displaystyle \frac{2}{x}}\end{array} \end{gathered}$$

Or  $x^4+5x^2-4=0⟺X^2+5X-4=0$  avec $X=x^2.$

$X^2+5X-4=0⟺X={\displaystyle \frac{-5+\sqrt{41}}{2}}$  ou $X={\displaystyle \frac{-5-\sqrt{41}}{2}}$

Donc  $x^4+5x^2-4=0⟺x^2=={\displaystyle \frac{-5+\sqrt{41}}{2}}$  
ou $x^2={\displaystyle \frac{-5-\sqrt{41}}{2}}⟺x^2=={\displaystyle \frac{-5+\sqrt{41}}{2}}$  car ${\displaystyle \frac{-5-\sqrt{41}}{2}}<0$ .

Donc  $x^4+5x^2-4=0⟺x=\sqrt{{\displaystyle \frac{-5+\sqrt{41}}{2}}}$  ou $x=-\sqrt{{\displaystyle \frac{-5+\sqrt{41}}{2}}}$  
car ${\displaystyle \frac{-5+\sqrt{41}}{2}}\ge 0$ .

Finalement, en posant $x_1=\sqrt{{\displaystyle \frac{-5+\sqrt{41}}{2}}}$  et $x_2=-\sqrt{{\displaystyle \frac{-5+\sqrt{41}}{2}}},$  on a :
$S=\{x_1+{\displaystyle \frac{2}{x_1}}i;x_2+{\displaystyle \frac{2}{x_2}}i\}$ .